Man vet att det är 2000-tal ...

… när man slår på TV:n och inte kan avgöra om det som visas är ett drama eller en dokumentär. Det händer mig då och då, särskilt på de lite obskyra kanalerna där man inte har så bra koll på vilka serier som går. Och det är en kittlande upplevelse, verkligen.

Det kan ta flera minuter för mig. Det som brukar avgöra i svåra fall är dialogen. Även i de dramaserier där stilen ifråga om foto, ljud och klipp lånat drag från dokumentären brukar dialogen vara mer kärnfull och ekonomisk än den som dokumentärens aktörer presterar. Men vi kommer säkert att få se överskridande även på den punkten.

Om stopp-problemet

”Kan man skriva ett program som avgör om ett godtyckligt program terminerar?

Vi skall nu med ett motsägelsebevis visa ett det inte finns något sådant program.
Antag att ett sådant program Q finns.

Q(P) =…
…True om P terminerar
…False om P inte terminerar

Detta innebär att det också är möjligt att skriva ett program Q’ sådant att

Q’(P) =…
… inte terminerar om P terminerar
… terminerar om P inte terminerar

Eftersom P är godtyckligt kan Q’ ta sig själv som indata. Detta innebär alltså att Q’ skall terminera om Q’ inte terminerar och att Q’ inte skall terminera om Q’ terminerar!

Q’(Q’) =…
… inte terminerar om Q’ terminerar
… terminerar om Q’ inte terminerar

Vi har således fått en motsägelse, vilket innebär att vårt ursprungliga antagande är felaktigt. Slutsatsen blir att det inte kan finnas något program som kan avgöra om ett godtyckligt program terminerar, vilket innebär att problemet är icke beräkningsbart.”

Så formulerades beviset för att det s.k. stopp-problemet inte är beräkningsbart i kursmaterialet till Programmeringsteknik, fortsättningskurs, som jag gick läsperiod 3 1997 (jag ber om ursäkt för den fula sättningen; det är mina skrala HTML-kunskaper som gör sig gällande). Jag tyckte redan från början att det var något som inte stämde med det här beviset, och efter en stunds funderande (mer nedan om varför jag ägnade tankemöda åt denna för kursen tämligen perifera frågeställning) insåg jag felet:

När vi inför Q(P) (och analogt Q’(P)), måste vi bestämma oss för om vi med P avser ett exekverbart, entydigt program inklusive dess indata, eller om P är ett program som blir entydigt bestämt och exekverbart först när vi tilldelat ett värde till dess indata – så att vi egentligen har ett program P(X). Om vi menar det senare, måste Q(P) egentligen vara ett kontraherat skrivsätt för Q(P,X), för det är ett trivialt faktum (som då och då gör sig påmint för alla som programmerar) att det finns program som terminerar med viss indata men inte med annan.

Om vi däremot inte vill krångla till resonemanget genom att införa ett ytterligare argument för Q och Q’(och inte få något av principiellt värde för det), måste vi med P mena ett program som är entydigt bestämt inklusive dess indata. Och då kan Q’ inte ta Q’ som indata! Inte enbart i alla fall, för Q’ i argumentet till Q’ måste också ha indata för att bli ett exekverbart program. Alltså: Q’(Q’) är inte definierat. Vi kan skriva Q’(Q’(P)), men för detta måste vi alltså bestämma vad P är. När vi väl gjort det, kan det förstås visa sig att Q’(P) terminerar, men att Q’(Q’(P)) inte gör det, men i det finns ingen motsägelse; det är ju två olika uttryck! En motsägelse blir det först om man slarvar och kallar både Q’(Q’(P)) och Q’(P) för Q’ och sätter in dem i samma mening.

Låt mig illustrera med en parodi på beviset ovan:
”…
Detta innebär att det också är möjligt att definiera en funktion f’ sådan att

f’(x)=…
… -1, om x är större än noll
… 1, om x är mindre än noll

Eftersom x är godtyckligt kan f’ ta sig själv som indata. Detta innebär alltså att f’ skall vara större än noll om f’ är mindre än noll och att f’ skall vara mindre än noll , om f’ är större än noll!” Slutsatsen skulle då bli att det inte kan finnas en funktion som räknar ut om ett tal är större eller mindre än noll.

Jag framförde den här invändningen (men jag har för mig att jag använde funktionen f(x)=x2 som exempel) till föreläsaren på rasten efter genomgången av det här beviset. Han grubblade i några minuter, men han var väl inte beredd att acceptera att beviset var felaktigt på en gång. Själv var jag heller inte beredd att acceptera att ett välkänt resultat inom datalogin kunde vara baserat på något så enfaldigt. Kanske var det så att någon väsentlig del av beviset gått förlorad i den lite informella framställningen av det som vi fick ta del av?

För ett ta reda på det sökte jag efter en mer stringent formulering av beviset och fann den här (scrolla ner till ”Stopp-problemet är oavgörbart”). Här har man gett Q’ en mer explicit beskrivning, kallad M(P). Ja, i alla fall ser den mer stringent ut, men den faller som ett korthus vid den mildaste prövning av dess grunder. Först och främst får man fråga sig vad som menas med ”Stopp(P,P)”. Funktionen ”Stopp” är ju införd som ”Stopp(P,X) som avgör stopp-problemet”, där X står för P:s indata. Måste P då vara ett program som tar just ett program som indata? Hur skulle man annars utan vidare kunna införa ”Stopp(P,P)”?

Men bortsett från den lapsusen(?), lägg märke till hur försåtligt argumentet till M försvinner, när M görs till argument till sig själv i ”Vad händer när M(M) körs?” Varför inte skriva M(M(P))? Tja, det skulle förstås ha gjort det uppenbart att man inte bara kan fråga vad som händer när M(M) körs, men hur kan man missa en så uppenbar sak? Kan personen som skrev det ha noterat den här bristen men ändå låtit det stå eftersom han var säker på att beviset ändå stämmer? Eller kan det vara så att det här faktiskt inte är så lätt att upptäcka om man inte tänker på det?

I grunden är det samma invändning som Wittgenstein framförde mot Russels paradox: En funktion kan inte ta sig själv som argument. Om han därmed lyckades avlägsna det problem som Russel uppmärksammade oss på kan jag inte avgöra, eftersom jag aldrig sysselsatt mig med att infoga mängdläran i något formellt system (och aldrig satt mig in i hans typteori heller för den delen), men jag håller i princip med Wittgenstein, och därför tror jag att paradoxen, så som den brukar formuleras*, är en konsekvens av ett slarvigt språkbruk.

Varför började jag fundera på detta, och varför var jag så övertygad om att beviset (gällande stopp-problemet alltså) inte kunde vara korrekt? Jo, jag insåg att en människa i allmänhet kan lösa det problem som det enligt beviset inte går att finna en algoritm för, dvs. avgöra om ett visst program terminerar eller inte. Visst finns det program som är för stora och komplexa för att en enskild person ska kunna utföra den uppgiften, men det går inte att föreställa sig ett program med givna indata som i princip inte skulle kunna analyseras i det här avseendet, även om ett större antal dataloger fick jobba med det under lång tid. Och om en människa, eller flera människor, kan lösa en beräkningsuppgift, kan man också – i princip – skriva ett program som löser samma uppgift. Det är i alla fall min övertygelse. Kan det vara så att de som lyfter fram stopp-problemet som ett icke beräkningsbart problem har den motsatta övertygelsen och därför inte bryr sig om att granska beviset så noga?

Nå, jag antar att jag stuckit ut hakan lite här (till och med gjort mig skyldig till viss psykologisering av oliktänkandes motiv), men jag går längre än så: Den som lyckas rädda beviset för att stopp-problemet inte är beräkningsbart bjuder jag på en öl eller motsvarande. Nej, två öl. Eller motsvarande. Maila mig eller lägg upp det på din egen blogg.

(*Russels paradox: Låt M vara mängden av alla mängder som inte är delmängder i sig själva. Är nu M en delmängd av sig själv? Om den är en delmängd av sig själv, är den inte en delmängd av sig själv, eftersom den inte uppfyller kriteriet för att ingå i M, dvs. att vara en delmängd i sig själv – och vice versa.)

Att segmentera marknaden

”När det stod klart att landets högskolestudenter skulle gå miste om CSN-kortet, som bl.a. innebar kraftigt subventionerade tågresor, var protesterna många och oron stor. Hur ska vi nu ha råd att åka hem till våra familjer, tänkte vi. Endast ett par veckor efter att beslutet fattats tillkännagavs emellertid att Sveriges Förande Studentkårer träffat en överenskommelse med SJ, vilken innebar att studenterna trots allt skulle få resa med en rabatt som inte var mycket mindre än vad CSN-kortet gav. Detta fann jag lite märkligt. Med enkel huvudräkning kunde jag nämligen inse att kåravgiften kunde 'tjänas in' på blott en handfull hemresor. Varför gick SJ med på en sådan förlustaffär? Var det kanske så att SJ som statligt bolag bestämde sig för att släppa lite på lönsamhetskravet med studenternas väl och landets framtid i åtanke? Den förklaringen tillfredsställde endast kortvarigt, för snart upptäckte jag att den rabatt som SFS-kortet (som det nya kortet kallades) gav hos den lokala frisersalongen hade samma generösa karaktär. Frisörsbranschen var ju inte precis känd för att ha stora vinstmarginaler – så det var något som inte stämde.

Min felaktiga premiss var att det finns ett och endast ett jämviktspris. Om en varas pris bestäms i direkt förhandling mellan köpare och säljare, hamnar priset (trivialt) mellan det lägsta pris säljaren kan acceptera och det högsta pris köparen kan acceptera. Hur högt pris säljaren faktiskt får ut beror dels på hans förhandlingsskicklighet, dels på vilka alternativa konsumtionsmöjligheter köparen har och hur denne värderar dem. Detta beror i sin tur på en mängd omständigheter i köparens liv; speciellt beror det på hur mycket pengar han har. En rik person accepterar ett högre pris än en fattig, eftersom han ändå har mycket pengar kvar att lägga på annat. (I den nationalekonomiska jargongen skulle vi säga att det finns en efterfrågekurva för varje köpare och således ett jämviktspris för var och en av deras skärningspunkter med säljarens utbudskurva.)

Om nu säljaren tvingas välja ett och samma pris för alla kunder, vilket ju är normalfallet, blir det en kompromiss mellan det högsta och lägsta pris som enskilda förhandlingar mellan de olika kunderna skulle ge. Men det är ju inte optimalt. Förtjänsten skulle öka, om han kunde höja priset för de penningstarka (eftersom de är beredda att betala mer) och sänka det för de penningsvaga (eftersom fler av dem kommer att köpa). Detta kallas att segmentera marknaden. Precis det försökte nätbokhandeln amazon.com göra för ett par år sedan. Olika kunder fick olika priser för precis samma böcker, beroende på vad de handlat tidigare. Försöket orsakade ett ramaskri och fick avbrytas.

Reaktionen på amazons tilltag är typisk och vittnar om ett par mycket utbredda missförstånd om ekonomi. För det första anses det ligga något slags rättvisa i att alla betalar lika mycket trots att pengars värde för en individ självklart beror på hur mycket pengar hon eller han har. För det andra verkar inte särskilt många förstå att ett enhetligt pris är till nackdel för dem som har minst pengar. I dagens Sverige är det en norm att säljaren tydligt ska ange ett och endast ett pris som inte kan förhandlas om. Vi fnyser åt sydlänningars prutande och kräver att priset ska stå på varan. När det gäller dagligvaror finns det t.o.m. en lag som säger att det pris som gäller måste synas i skyltfönstret. Det är mycket beklagligt att sådana normer förhärskar, för flexiblare prissättning skulle leda till större effektivitet i stort men framför allt ge låginkomsttagare mer för sina pengar.

Men kapitalister är uppfinningsrika! De hittar ofta sätt att segmentera marknaden utan att kunderna inser det. Rabatter till studenter uppfattas t.ex. ofta som ett utslag av generositet trots att det är en krass ekonomisk kalkyl som ligger bakom. SJ vet att de flesta studenter har ont om pengar och inte skulle resa alls, om priset var för högt, därav det omtalade SFS-kortet. En annan mycket vanlig strategi är att utnyttja det faktum att kunder från olika inkomstskikt anstränger sig olika mycket för att få lägsta möjliga pris. SJ kan åter tjäna som exempel: den som är tidigt ute med att beställa sin resa får ett betydligt lägre pris än den som väntar till resdagen. Ett annat exempel är de reklambroschyrer med rabattkuponger som titt som tätt dimper ned i brevlådan. En höginkomsttagare orkar knappast plocka fram saxen, klippa ut kupongen och sedan komma ihåg att ta med sig den till affären bara för att få fem kronors rabatt på Via, men en person som lever på marginalerna kanske gör det. Ytterligare ett exempel är klädesreorna: den som orkar vänta till efter jul och står ut med trängseln kan spara en hel del.

Det vanligaste är dock att markanden delas upp genom att fattiga och rika inte handlar på samma ställen och inte köper samma varor. Extrautrustning, statusmärken, nya finesser, påkostade butiker med fjäskiga biträden – oändlig är producenternas påhittighet när det gäller att intala de köpstarka kunderna att de får något för sina höga priser. Och det är inte konstigt alls att de betalar; ingen människa kan köra två bilar samtidigt eller äta tio kilo mat om dagen, även om hon är rik nog att göra det. Den som är rik måste därför betala mer för de saker hon konsumerar,

Rika betalar mer, fattiga mindre. Är detta kapitalismens svar på 'av var och en efter förmåga, åt var och en efter behov'? Nja, skeptikern kan ju hävda att det extra som höginkomsttagarna får, oavsett hur litet det är, faktiskt är värt precis så mycket som de betalar. Huruvida det är så går strängt taget inte att avgöra. Marknadsekonomin bygger på det frivilliga utbytet av varor och tjänster, och byten äger rum just därför att människor värderar saker olika. Därför finns det inget bättre mått på en varas värde än det pris någon är beredd att betala. Det enda vi kan säga är att den som har lite pengar får lägre priser och den som har mycket får bättre varor än om samma priser gällde för alla, och varje försök att med lagar eller normer inskränka den fria prisbildningen riskerar att minska denna effekt.”
------------------------------------------------

För några år sedan blev jag ombedd att skriva något till Radikalt Forum, Liberala Ungdomsförbundet Storstockholms medlemstidning, vilken anmärkningsvärt nog distribueras till alla medlemmar i förbundet. Texten ovan var vad jag skickade in. Tyvärr blev den refuserad, och jag kände inte för att försöka få in den någon annanstans, så den förpassades till djupet av den virtuella skrivbordslådan (och har de senaste åren legat på CD:n med filer jag räddat från min gamla dator).

När jag ikväll får infallet att läsa den igen, tycker jag faktiskt inte att den är så hemskt dålig. Kanske förtjänade den att bli refuserad i RF i nuvarande skick, men något borde man väl ha kunnat göra med den? Och refuserad och refuserad förresten, jag fick aldrig något svar; det enda jag vet är att den inte blev införd. Något borde de väl ha kunnat säga, när de nu faktiskt hade bett mig skriva, om så bara en vit lögn i stil med ”Tack för en fin artikel! Tyvärr hade vi nog tänkt oss något mer…” Eller?

Om den irriterande berättarrösten

Är det inte märkligt hur lätt många av oss förargas över berättarröster i filmer? Vad grundar sig vår klagan egentligen på? Fog för denna fråga finns visserligen, för den motivering som vanligen anförs – att filmen ska klara av att berätta sin historia med hjälp av bilderna (och det därtill hörande ljudet) – håller inte för en närmare granskning. Varför skulle just filmkonsten bakbindas av ett sådant krav? I litteraturen ser vi det inte som märkvärdigt alls att redogörelsen för dialogen, omgivningen och de konkreta händelserna kompletteras med författarens beskrivning (ibland genom ett berättarjag, oftast bara i form av en anonym, objektiv betraktelse) av aktörernas tankar och sinnestillstånd samt av skeenden utanför den explicit beskrivna intrigen.

Visst finns det undantag; särskilt omtalad är ju Ernest Hemingways så kallade isbergsteknik, varmed det i skrift torftigt och sparsmakat återgivna antogs utgöra endast en bråkdel av det berg av händelser, stämningar och tankar som texten förmådde förmedla till den uppmärksamme och (får man förmoda) fantasifulle läsaren. Några efterföljare har han ju fått, och förvisso ses det alltjämt som meriterande och lite sensationellt när det här stilgreppet begagnas med lyckat resultat. Men de är just undantag, och det är just ett stilgrepp det ses som – inte en estetisk norm, som det närmar sig i filmkonsten.

Man måste komma ihåg att berättande (med ord; subjektivt eller objektivt) och återgivande (med bild och/eller ljud) har olika förutsättningar att förmedla olika typer av information. En bild säger mer än tusen ord heter det ju, och i många sammanhang tror jag det stämmer bokstavligen. Ett landskap, en blomma, ett ansikte – inget av detta kan en beskrivning i ord göra rättvisa. Vilket inte hindrar de flesta författare från att försöka åstadkomma just detta; sällan ser vi ju illustrationer i skönlitterära verk för vuxna.

Här stöter vi faktiskt på en ideologi som är diametralt motsatt den ovan nämnda som gäller för filmen. Vi sätter en ära i, eller i alla fall nåt slags värde på, att för vårt inre bygga upp bilderna av den värld som boken beskriver. Vi skulle bara bli irriterade om författaren försökte hjälpa oss därvidlag genom att pracka på oss bilder på personerna och miljöerna. (Fast jag kan också bli lite irriterad när mitt inre envisas med att framställa huvudpersonen med anletsdrag från en kassörska på Hemköp.) För vi har ju den förmågan i viss utsträckning (och, får man anta, med stor individuell variation), och vi gillar att använda och träna den. Samtidigt kan den aldrig ersätta det direkta sinnesintrycket. Modern hjärnforskning visar också att representationer av ljud och bilder som bildats genom signaler från sinnena har en mer direkt rutt till känslocentrum (eller vad det nu kallas; jag minns det inte så väl) än sådana som uppstått genom vår fantasi.

På motsvarande sätt finns det tankegångar som tusen bilder inte förmår förmedla bättre än en enkel mening. Det finns ju skäl till att folk tröttnar på bilderböcker någonstans kring fyraårsåldern. Språket är ett mycket bra hjälpmedel när det gäller att informera om t.ex. motiv och omständigheter. Förr, när de flesta människor var analfabeter, hade symboliken en större plats i bildkonsten än den har idag, men det är knappast något vi saknar. Om vi t.ex. vill informera oss om en viss person, gör vi det hellre genom en välskriven artikel tillsammans med ett verklighetstroget porträtt än genom en orealistisk målning nerlusad med symbolik. Och hur mycket bättre skulle vi inte förstå våra paleolitiska förfäder om någon en enda gång fått idén att förse en grottmålning med en förklarande bildtext?

Nåväl, jag skrev ”diametralt motsatt” ovan, men i ett avseende är dessa estetiska normer kring film och litteratur faktiskt parallella. Det handlar i båda fallen om intellektuella utmaningar – för såväl skaparen som betraktaren av konstverket ifråga. När vi ser en film vill vi utifrån bilderna och ljudet sluta oss till vilka de bakomliggande omständigheterna och tankegångarna är. När vi läser en bok vill vi utifrån berättelsen bygga upp de i texten saknade bilderna och ljuden. Kan det vara så enkelt att vi söker intellektuell stimulans och att vi vill att konstnären ska lägga den på just rätt nivå, dvs. inte för lätt och inte för svårt? Tja, det har ju i så fall inte så mycket med konstnärligt värde att göra. Eller har det det?

Ut

För ovanlighetens skull använder jag det här forumet för ett personligt tillkännagivande: Jag har nu gått ur Folkpartiet Liberalerna och Liberala Ungdomsförbundet. Samtidigt har jag ansökt om medlemskap i Liberala Partiet.

Jag tar tillfället i akt att säga att det inte är något protestavhopp och att jag inte har något otalt med någon. Det har varit en bra tid för mig. Jag har lärt mig oerhört mycket, och många oförglömliga ögonblick har det blivit. Några inom partiet/förbundet, varav någon kanske läser här, har jag dessutom kommit att tycka om väldigt mycket. Jag vill inte förlora kontakten med er, om det inte är det ni vill. Så tack alla och lycka till och håll ångan uppe och vi hörs och ses!

61!

”Ring ut, ring ut de tusen krigens år
Ring in den tusenåra fredens rike”

Dessa pampiga ord av Alfred Tennyson (helst upplästa av Jarl Kulle) får mig alltid att rysa av välbehag*, när jag har tillfälle att höra dem på nyårsnatten. Först idag slog det mig dock att den tid vi lever i i själva verket är om inte den tusenåra så i alla fall den mycket långvariga fredens tid. Jaja, krig pågår på några håll i världen (och våra tankar går till deras offer, etc.), men det år nyårsklockorna ringde ut igår natt var faktiskt det 61:a i följd med fred mellan Europas stormakter samt USA. Hur långt tillbaka i Europas sargade historia måste vi gå för att hitta en så lång tid utan krig? Mycket långt visar det sig. Om vi med Europas stormakter menar Tyskland/Tysk-romerska riket, Frankrike, Spanien, England/Storbritannien och Ryssland/Sovjetunionen, kan vi med följande krig ta oss tillbaka till i alla fall 1588: andra världskriget (1939-1945), första världskriget (1914-1918), tysk-franska kriget (1870-1871), Krimkriget (1853-1856), Napoleonkrigen/revolutionskrigen (1793-1815), sjuårskriget (1756-1763), spanska tronföljdskriget (1701-1714), trettioåriga kriget (1618-1648) ”spansk-engelska kriget” (vad det nu kallas, kring 1588). Och då finns det förstås några jag inte kommit på här. (Även om man räknar bort Krimkriget (för att det inte utkämpades på de europeiska stormakternas centralområden), blir freden under 1800-talet inte längre än 55 år.)

Vi lever alltså i en fredstid vars längd inte överträffas av någon annan period under i stort sett hela den Nya Tiden, eller, annorlunda uttryckt, under hela den tid efter antiken då stora krigsmakter överhuvud taget funnits. Jag förmodar att förklaringen till detta står att söka i terrorbalansen, demokratin och de politiska samarbetena, men det är inte poängen. Poängen är att det är rekord! Och detta vackra rekord blir bara mer imponerande och svårslaget för varje gång vi skålar vid tolvslaget.

(*Jo, jag är svag för högtidlighet – så länge det inte är förknippat med (i) nationalism, (ii) religion eller (iii) monarki.)